命題１３
第1の量が第2の量に同じ比を持つと同じように第3の量が第4の量に同じ比をもち、第3の量が第5の量が第6の量に持つ比より大きい比を第4の量に持つならば、第1の量もまた第5の量が第6の量に持つ比より大きい比を第2の量に持つ。
第1の量Aが第2の量Bに同じ比を持つと同じように第3の量Cが第4の量Dに同じ比をもつとし、第3の量Cが第5の量Eが第6の量Fに持つ比より大きい比を第4の量Dに持つとする。
第1の量Aもまた第5の量Eが第6の量Fに持つ比より大きい比を第2の量Bに持つことをいう。
CとEの同倍数がいくつかあり、DとFの他の同倍数があるから、それらを取られるとし、Eの倍数がFの倍数より大きくないとき、Cの倍数はDの倍数より大きい。GとHをCとEの同倍数としKとLを他の、任意の、DとFの同倍数とし、つまりGはKより大きいが、HはLより大きくない。倍数GはCより大きい、MもまたAの倍数とし、倍数KがDより大きい、NもまたBの倍数とする。definitionⅤ．７
さて、AがBに対し同じようにCがDに対し、そしてAとCの同倍数MとGが取られて、BとDの他の、任意の、同倍数NとKが取られるから、それゆえに、MがNより大きいならば、GもまたKより大きい。等しいならば等しい。小さいならば小さい。definitionⅤ．５
しかしGはKより大きく、それゆえにMもまたNより大きい。
しかしHはLより大きくなく、MとHはAとEの同倍数であり、NとLはBとFの他の、任意の、同倍数であるから、それゆえにAはBに対してEがFに持つより大きい比を持つ。definitionⅤ．７
それゆえに、第1の量が第2の量に同じ比を持つと同じように第3の量が第4の量に同じ比をもち、第3の量が第5の量が第6の量に持つ比より大きい比を第4の量に持つならば、第1の量もまた第5の量が第6の量に持つ比より大きい比を第2の量に持つ。
証明終了